🌟みんなの数学アート🌟 多面体の周期表: Face-Regular Polyhedra / The Polyhedra Periodic Table
多面体の周期表
The Polyhedra Periodic Table
１９９９年
Gunnar Brinkmann & Michel Deza
ドイツのビーレフェルト大学 数学部
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Germany
「Face-Regular Polyhedra」
「正多面体（プラトンの立体）/ Regular Polyhedra）」は、「全ての面が合同な正多角形で、全ての頂点における面の配置が同じ（どの頂点を選んでも、その頂点に集まる面の数、面の形、それらの面がなす角度（多面角）がすべて同じ）」という非常に厳しい条件を満たす5種類の多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）のみを指します。一方、「Face-Regular Polyhedra」は「すべての面が正多角形である」という条件が唯一の必須条件です。この定義には正多面体の他に、「半正多面体 / Archimedean solids」、「ジョンソンの立体 / Johnson solids」、「多角柱 / Prisms」「反角柱 / Antiprisms」などが含まれます。これらの多面体は、面は正多角形でも、複数の種類の正多角形から構成されていたり、頂点の配置が均一でなかったりします。
「多面体の周期表」
多面体の性質を統一的に理解するために、多面体の骨格が持つ「Face-Regular」（面正則性）という「多面体グラフ構造」と、多面体が空間内で持つ「面推移性」という「幾何学的対称性」を組み合わせた新しい枠組みを提案。さらに、「面の最大サイズを限定（全ての面は五角形以下など）」「頂点の次数が一定（各頂点に集まる辺数が全て同じ）」の条件下で「Face-Regular Polyhedra」の数が有限であるという結果を導き出しています。これは、無限に存在する可能性のある多面体の世界を、特定の制約のもとで体系的に分類・リスト化できることを示唆する、まるで「多面体の周期表」を作成するような試みと言えます。具体的な調査として「面のサイズが2種類（三角形と四角形のみ、五角形と六角形のみ、など）」 である多面体について構造リストを体系的に提示。新しい建築構造物の設計や、特定の対称性を持つ分子モデルの構築など、様々な分野での幾何学的な美しさまた機能性を解き明かす協力なツールとなる可能性を秘めています。
-Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41
Face-Regular Polyhedra
Regular Polyhedra (Platonic Solids) refer to just five specific polyhedra: the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron. These shapes satisfy extremely strict conditions: all their faces are congruent regular polygons, and the arrangement of faces at every vertex is identical (meaning that no matter which vertex you choose, the number of faces meeting at that vertex, their shapes, and the angles they form are all the same).
In contrast, Face-Regular Polyhedra have only one essential requirement: "all faces must be regular polygons." This definition includes Platonic Solids, but also encompasses Archimedean solids, Johnson solids, Prisms, and Antiprisms, among others. While their faces are regular polygons, these polyhedra may be composed of multiple types of regular polygons or have non-uniform vertex configurations.
The Periodic Table of Polyhedra
To understand the properties of polyhedra in a unified manner, a new framework is proposed that combines the "polyhedral graph structure" of a polyhedron's skeleton, which possesses "Face-Regularity," with "geometric symmetry," which is "face transitivity" that the polyhedron has in space. Furthermore, under the conditions of "limiting the maximum face size (e.g., all faces are pentagonal or smaller)" and "constant vertex degree (i.e., the same number of edges meet at every vertex)," they have derived the result that the number of "Face-Regular Polyhedra" is finite. This suggests that the potentially infinite world of polyhedra can be systematically classified and listed under specific constraints, much like an attempt to create a "Periodic Table of Polyhedra." As a specific investigation, a structural list for polyhedra with "two types of face sizes (e.g., only triangles and squares, or only pentagons and hexagons)" is systematically presented. This holds the potential to be a powerful tool for unraveling the geometric beauty and functionality in various fields, such as the design of new architectural structures and the construction of molecular models with specific symmetries.
Source: Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41
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